四边形中“新定义”型试题例析

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中考中的“新定义”型试题,都是在学生已学数学知识的基础上,给出一个“新概念”,要求学生学习并运用这个“新概念”来解决相应的数学问题。此类试题突出考查了学生的数学阅读理解能力、数学抽象概括能力和对“新概念”的实际应用能力。这种新情境下的“新概念”问题的解决与实践过程,能有效地考查学生良好的数学学习能力。本文以四边形中“新定义”型试题为例进行探讨。
一、 新定义四边形中的特殊点
例1 (2007年宁波市中考题)四边形一条对角线所在直线上的点,如果到这条对角线的两端点的距离不相等,但到另一对角线的两个端点的距离相等,则称这点为这个四边形的准等距点.如图1,点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点,PD=PB,PA≠PC,则点P为四边形ABCD的准等距点.
图1

图2

图3
(1) 如图2,画出菱形ABCD的一个准等距点.
(2) 如图3,作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法).
图4
(3) 如图4,在四边形ABCD中,P是AC上的点,PA≠PC,延长BP交CD于点E,延长DP交BC于点F,且∠CDF=∠CBE,CE=CF.求证:点P是四边形ABCD的准等距点.
(4) 试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数,不必证明).
先来看前三问的解答。
解:(1) 如图5,点P即为所画点.
图5

图6
(2) 如图6,点P即为所作点.
(3) 连结DB,在△DCF与△BCE中,
图7
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∠DCF=∠BCE, ∠CDF=∠CBE,∠ CF=CE.
∴△DCF≌△BCE(�AAS�),
∴CD=CB,
∴∠CDB=∠CBD.
∴∠PDB=∠PBD,
∴PD=PB,
∵PA≠PC,∴点P是四边形ABCD的准等距点.
第(4)小题解答的形式开放多样,要全面探究四边形的准等距点个数的情况,论证几何图形的特征有一定难度。但是,从整道题来看,由于有第(1)小题和第(2)小题作为“路标”,解决第(4)小题可以拾阶而上,学生应善于利用题组的暗示作用。
第(1)小题中菱形的准等距点有无数个,显然,四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时,准等距点都有无数个。
第(2)小题在一般的四边形中找到了两个准等距点,不难发现,准等距点是四边形的一条对角线的中垂线与另一条对角线所在直线的交点,而两直线的位置关系是相交(1个交点)或平行(没有交点),因此推断出一般四边形中准等距点有两个、一个或没有的可能。
作为开放探究性的问题,学生习惯从特殊的四边形(如平行四边形、矩形、菱形、正方形)来考虑问题,但在整合结论时,应该回到一般情形中来。本小题的解答从四边形的对角线的角度来叙述,显得整齐完美:
解:(4) ① 当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时,准等距点的个数为0个;
② 当四边形的对角线不互相垂直,又不互相平分,且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时,准等距点的个数为1个;
③ 当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分,且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时,准等距点的个数为2个;
④ 四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时,准等距点有无数个.
2006年安徽省中考试卷第23题与本题有异曲同工之妙,通过考查定义“半等角点”,让学生经历对新概念的理解、操作、运用和证明过程。解决此类题的关键是应透彻理解新概念的内涵,从解决特殊图形情形中入手,抓住本质,逐步归纳出解决一般情形的方法。
二、 新定义四边形中的特殊线
例2 (2006年天门市中考题)我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”。利用下面的作图,可以得到四边形的“好线”:在四边形ABCD中,取对角线BD的中点O,连结OA、OC.显然,折线AOC能平分四边形ABCD的面积,再过点O作OE∥AC交CD于交CD于点E,则直线AE即为一条“好线”。
(1) 试说明直线AE是“好线”的理由;
(2) 如图9,AE为一条“好线”,F为AD边上的一点,请作出经过F点的“好线”,并对画图作适当说明(不需要说明理由)。
图8

图9
解:(1) 如图8,由O是BD中点得△ABO和△AOD的面积相等,△BCO和△DCO的面积也相等,由OE∥AC得△AOE的面积和△CEO的面积相等,得△AMO和△CME的面积相等,所以AE就是“好线”。
图10
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(2) 作法:如图10,连结EF,作AM∥EF交CD于点M,连结FM,则FM 就是所求的“好线”。
本题以独特的构思、合理的编排,引导学生理解并学会画“好线”。以图8的作法引导学生理解“好线”的作法,让学生探求隐含的理论依据是等底等高的两个三角形的面积相等,然后去探索图9的作法。
三、利用特殊边新定义四边形
例3 (2007年北京市中考题)我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地,我们定义:至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.
图11
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(1) 请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称;
(2) 如图11,在△ABC中,点D, E分别在AB, AC上,
设CD, BE相交于点O,若∠A=60�°�, ∠DCB=∠EBC=12∠A.
请你写出图中一个与∠A相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四边形;
(3) 在△ABC中,如果∠A是不等于60�°�的锐角,点D, E分别在AB, AC上,且∠DCB=∠EBC=
12∠A.探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论.
解:(1) 如平行四边形、等腰梯形等.
(2) 答:与∠A相等的角是∠BOD(或∠COE).
图12
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四边形DBCE是等对边四边形.
(3) 答:此时存在等对边四边形,是四边形DBCE.
证明:如图12,作CG⊥BE于G点,作BF⊥CD交CD延长线于F点.
∵ ∠DCB=∠EBC=12∠A,BC为公共边,
∴△BCF≌△CBG.∴BF=CG.
∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB,
∠BEC=∠ABE+∠A,
∴∠BDF=∠BEC.
可证△BDF≌△CEG.
∴BD=CE.
∴四边形DBCE是等对边四边形.
此题首先在等腰三角形的概念的基础上,给出了“等对边四边形”的定义,学生是否能够通过阅读理解新定义是解决问题的关键。题目中新定义的数学概念与学生已有的数学概念和知识有机结合,较好地考查了学生获取信息及利用所获得的信息解决问题的能力,有利于培养学生形成良好的学习方式,学会学习。定义了新的概念,来考查学生理解、掌握概念进而灵活运用的能力,培养了学生自主学习的能力;通过添加辅助线,构造全等三角形,来证明等线段,锻炼了学生的推理能力,有助于发展学生的空间观念。此类试题不同于常规证明题,要求学生具有分析、类比、猜想的能力,在猜想出可能的结论后再证明。
四、新定义四边形之间关系
例4 (2007年常州市中考题)如图13,菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时,应保证相似图形的“接近度”相等.
图13
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(1) 设菱形相邻两个内角的度数分别为m�°�和n�°�,将菱形的“接近度”定义为|m-n|,于是,|m-n|越小,菱形越接近于正方形.
① 若菱形的一个内角为70�°�,则该菱形的“接近度”等于�;
② 当菱形的“接近度”等于�时,菱形是正方形.
(2) 设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b),将矩形的“接近度”定义为|a-b|,于是|a-b|越小,矩形越接近于正方形.
你认为这种说法是否合理?若不合理,给出矩形的“接近度”一个合理定义.
解:(1) ① 40.
② 0.
(2) 不合理.例如,对两个相似而不全等的矩形来说,它们接近正方形的程度是相同的,但|a-b|却不相等.合理定义方法不唯一,如定义为
ba.
ba越小,矩形越接近于正方形;ba越大,矩形与正方形的形状差异越大;当ba=1时,矩形就变成了正方形.
本题以学生已学的菱形、矩形、正方形的概念为基础,给出新概念“接近度”,并且以菱形与正方形的“接近度”为例,设置了两个简单问题,然后运用这个新概念来深化和解决矩形与正方形的“接近度”问题,就突出了学生的数学理解能力的考查,又能有效地考查学生的数学学习能力。
总之,新定义的试题中所给出的情景是考生所不熟悉的,具有背景新颖而公平的特点。这类问题在设置上充分体现了层次性和基础性,考虑到不同层次学生的需求,并为优秀学生提供更大的发挥空间。

近年来的中考试题中,出现了一批着意考查学生创新意识、创新精神的新型试题,其特点是在题设中定义了学生未曾接触过的新概念,我们姑且称之为“定义型试题”.由于这类试题要求学生能立刻理解和应用新概念,所以可以考查学生的阅读理解能力和应变能力.一、定义新概念例1(2005四

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