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摘 要： 全概率公式和贝叶斯公式是概率教学中的重难点.本文利用启发式、总结式等方法，对全概率公式和贝叶斯公式进行教学设计，并结合实例，给出相关的应用.
关键词： 全概率公式 贝叶斯公式 完备事件组
1.引例
某厂使用甲、乙、丙三个产地的同型号电子元件用于生产电脑，其来自三地的元件数量各占0.25，030，0.45，且它们的合格率分别为0.95，0.96，0.97，
（1）若任取一元件，问取到的是合格品的概率是多少？
（2）若查出某一元件不合格，问该元件最有可能来自何地？
在第（1）问中，虽不知元件产自何地，但知道必是甲、乙、丙三地之一，合格率的大小与产地有关，而第（2）问则是已知结果追溯原因，并作出决策.为此引出解决这两类问题的方法，即全概率公式、贝叶斯公式及贝叶斯决策.
2.全概率公式和贝叶斯公式
定理：设事件A ，A …A 两两互不相容，P（A ）>0（I=1，2，…，N），且 A =Ω，则对任一事件B，有
全概率公式：P（B）= P（A ）P（B|A ）
贝叶斯公式：若P（B）>0，则P（A |B）= （i=1，2，…n）
证明参见教材.
由这个定理可得例2的解如下：
设A ，A ，A 分别表示“电子元件来自甲、乙、丙三地”，则A ，A ，A 构成Ω的一个划分，又设B表示“取得的元件为合格品”，易知
P（A ）=0.25，P（A ）=0.30，P（A ）=0.45，P（B|A ）=0.95，P（B|A ）=0.96，P（B|A ）=0.97
于是
（1）P（B）= P（A ）P（B|A ）=0.25×0.95+0.30×0.96+0.45×0.97=0.9620
（2）P（A | ）= = =0.3289
同理，P（A | ）= =0.3157
P（A | ）= =0.3552
由计算结果知P（A | ）>P（A | ）>P（A | ）.
从这个例子可以看到，全概率公式和贝叶斯公式的条件完全相同，是一个问题的两个方面.在全概率公式中，构成划分的事件A ，A …A 是导致试验结果的原因，故P（A ）叫先验概率，而在贝叶斯公式中P（A | ）叫后验概率，这是知道结果再追溯原因出在何处，并由此作出贝叶斯决策，这种决策方法在随机信号处理、投资决策和风险管理等方面有广泛应用.
3.应用举例
例2：某人到外地开会，他乘火车、轮船、汽车或飞机去的概率分别为0.2，0.1，0.3和0.4，他乘火车、轮船、汽车迟到的概率分别为 ， ， ，乘飞机不会迟到，求他开会迟到的概率.
分析：引起目标事件P（B）“迟到”的所有原因为乘火车、轮船、汽车或飞机，它们构成了完备事件组，且P（B|A ）已知，因此可以直接用全概率公式求解.
解：设B表示事件“开会迟到”，A ，A ，A ，A 分别表示“某人乘火车、轮船、汽车或飞机”，由全概率公式
P（B）= P（A ）P（B|A ）=0.2× +0.1× +0.3× +0.4×0≈0.152
例3：考试时选择题有4个答案，其中只有一个是正确的，当学生不会做时可以随机猜测.假设一个学生会做题与不会做题的概率相等，现在从卷面上看该题答对了，求该学生确实会做此题的概率.
分析：现在是知道结果“卷面上看该题答对了”，追溯原因“学生确实会做此题”，显然是用贝叶斯公式.
解：设事件B表示“学生答对该题”，A表示“学生会做该题”，A与 构成了一个完备事件组.从而P（A）=P（ ）=0.5，P（B|A）=1，P（B| ）=0.25，由贝叶斯公式，可得所求概率为：
P（A|B）= = =0.8
在应用全概率及贝叶斯公式时，有时常使用某事件A与其逆事件 作为一个划分.
例4：某地区居民的肝癌发病率为0.0004，采用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是存在错误的.已知患有肝癌的人其化验结果0.99呈阳性（有病），而没有患肝癌的人其化验结果0.999呈阴性（无病），现某人的检验结果为阳性，问他真的患肝癌的概率是多少？
解：设B表示事件“检验结果呈阳性”，A表示“被检查者患有肝癌”，显然，A与 构成了一个完备事件组.P（A）=0.0004，P（B|A）=0.99，P（ ）=0.9996，P（B| ）=0.001，由贝叶斯公式，可得
P（A|B）= = =0.284
检查结果呈阳性真的患肝癌的概率只有0.284，如何确保诊断无误呢？临床上通常的办法就是复诊.复诊时患肝癌的概率不再是0.0004，而是0.284，第一次检查呈阳性，对其患病的概率进行了修正.
假若第二次检查仍然呈阳性，则患肝癌的概率为
P（A|B）= = =0.997
该例题表明复查可以提高医生诊断的准确性.
4.应用公式的一般步骤
（1）找出样本空间Ω的完备事件组；
（2）求P（A ），P（B|A ）；
（3）求P（B），P（A |B）.
5.课堂小结
全概率公式――由因求果，贝叶斯公式――执果寻因.
参考文献：
[1]李子强.概率论与数理统计.科学出版社，2011：18-19.
[2]符方健.全概率公式及其应用技巧[J].高等数学研究，2011，14（2）：52-54.