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一、问题
现行人教版教材四年级上册第三单元“三位数乘两位数”的口算乘法中，介绍了最基本的行程问题数量关系式：速度×时间=路程，而没有编排相遇问题相应的例题和章节。对比苏教版、沪教版、浙教版、北师大版等教材，我们发现，这些版本的教材不约而同地保留了相遇问题的教学。可见，相遇问题有它独特的教学价值。以苏教版为例，在四年级下册“解决问题的策略”中出现了典型的相遇问题（如右图所示）：已知两个运动对象的速度和相遇时间，求两者间的距离。教材引导学生通过画图、列表显示实际问题中的数量关系，然后借助线段图和列表整理，形成思路、解决问题，最后尝试用不同的方法解答并比较解法的异同。苏教版教材侧重引导学生用画图的策略探索解决一般实际问题的方法，紧接着的巩固练习，将相遇问题变式成从同一地点出发反向运动的类型，让学生再次运用画图整理的方法解决。
相遇问题是稍复杂的行程问题的起始课。它主要研究两个物体在运动中速度、时间和路程之间的数量关系。这部分内容是今后学习较复杂的行程问题及工程问题的基础，对于引导学生分析问题、剖析数量关系有着很好的教学价值。也正是如此，我们从以下两个维度加以分析，试通过针对性的研究，找到相遇问题教学价值和教学效果双赢的对策。
（一）教之困
1.相遇问题我们到底要教会学生什么？是侧重相遇问题中的数量关系式？还是侧重解决问题的一般策略？
2.多数学生在解决基本的行程问题时，依赖于对数量关系式的记忆和模仿，如何让学生深入理解相遇问题的数量关系式？
3.相遇问题在现行使用的人教版教材中已经被删除了，相遇问题还有其教学价值吗？其教学价值又是什么？
4.相遇问题只是行程问题中的一个小分支，我们是否需要继续教学追击问题、列车过桥、流水行船等问题？
5.如何将行程中的相遇问题中的关系式迁移到工程、价格等问题中？
（二）学之难
1.由于相遇问题远离学生的生活经验，学生不能理解题意，尤其是对相向、同时、相遇、相距等词语的理解不到位。
2.学生无法理解“速度和×时间=路程和”这个数量关系式。
3.面对条件繁多的问题时，学生读不懂题，无从下手。解决问题的方法有待提高，策略欠缺。
（三）对问题的分析
我们从教师和学生两个层面进行调查和分析，发现了产生这些问题的主要原因――
教师层面：
1.注重模仿，依赖题海
在以往的行程问题教学中，不论是教材的编排还是教师的教学，都针对的是知识点的“匀速运动”状态。这是一种局限于知识点的为解题而教学的状态。教师将相遇问题的特点教给学生，让学生看到某些特定词汇就能产生条件反射，运用相遇问题的关系式解题。在这样的课堂中，充斥的除了练习题还是练习题。这样的教学，既忽视了学生对相遇问题中的数量关系式来龙去脉的了解，又忽视了学生对行程问题内在结构关系的整体把握，缺乏研究、发现内在规律的过程，更忽视了学生对解决问题思维方式的感受和领悟。说到底，教学已然异化为一种解题的教学，学生只是解题的工具。
2.认识单一，缺乏整体把握
相遇问题虽然被称为一类问题，但它与工程、价格等问题有很多共性。将数量关系再次抽象概括的话，“工作效率×工作时间=工作总量”“单价×数量=总价”“速度×时间=路程”等数量关系都可以表示为：每份数×份数=总数，即乘法的数量关系式。同时，将“速度和×时间=总路程”“速度差×时间=路程差”“速度×时间=路程”等类比迁移，我们可以得到相遇、追击等行程问题。然而在教学中，教师们的教学往往是围绕某一个例题类型展开，各个击破。这样的教学，使得学生要么对相遇问题的类型认识单一，要么对相遇问题的解法认识单一，容易形成“只见树木，不见森林”的散点认识，难以从整体上认识和把握相对复杂的行程问题。
3.对相遇问题教学价值的把握出现偏离
相遇问题的教学价值仅仅是教给学生一个数量关系式吗？答案是否定的。相遇问题中包含着许多已知条件，在教学中，教师应先引导学生通过画图、列表等方式显示实际问题的数量关系；再借助线段图和列表进行整理，形成思路后解决问题；最后将方法对比出优劣，反思、总结后再加以运用。正是这样带领学生在面对陌生的数学问题时，经历理解题意、拟定计划、实施计划、总结反思等解题过程，授之以渔，学生在以后的学习中面对新问题时，才不会束手无策。
学生方面：
1.心理方面
从我们的学前调查来看，52%的学生在解决问题时，读不懂题目，无法列出算式，对寻找题目中的数量关系存在很大的问题。面对新问题时，学生解题的自信心不足，探究热情下降，甚至产生恐惧和挫败感，导致思维质量下降。对于相遇问题这类平时生活中接触较少的问题，学生自然会产生抵触心理，不愿探究、不愿思考，只能死记硬背公式，依葫芦画瓢。而问题一旦产生变式，就缴械投降，最后为了提高，只能走题海战术了。
2.认知方面
在学习相遇问题之前，学生已经掌握了“速度×时间=路程”这个基本的行程问题关系式，但对行程问题的理解还停留在单一运动对象的认知上。对于包含两个或多个运动对象的行程问题，学生在认知上有一个巨大的跨越。在学习过程中，我们发现学生特别难理解“速度和×时间=总路程”这种多个运动对象的概括式。他们虽然在形式上通过乘法分配律能够解释，但是在具体数量关系中还是模糊不清。
二、实践
片段一：注重相遇问题中数量关系分析的教学
片段教学目标：学生在生活情境中体验相遇，学会用画图的方法整理数学信息，理解数量关系，总结出相遇问题的解题方法。
1.通过自我介绍引出问题
师：孩子们，先自我介绍一下：我姓舒，住在银盆岭。你们也能像舒老师一样介绍自己吗？ 学生介绍自己的姓名和住址。
师：小罗住在学校西边，舒老师住在学校东边。我们两个人的家与学校的位置可以用线段图（如下）表示。
2.回顾基本数量关系
师：舒老师开车来学校，每分钟行800米，4分钟可以到学校。你能想到什么？小罗每天骑车上学，每分钟行300米，也是4分钟可以到学校。小罗家到学校的距离是多少？（带领学生整理出基本数量关系式：速度×时间=路程）
3.构建相遇情境，形成完整问题
师：如果老师和小罗同时从家出发到学校，经过4分钟后，会出现什么情况？
生：同时到达，你们俩在校门口相遇了。
师：用两只手代表我们两个，示范一下，我们怎么走？方向怎样？
生1：相对而行。
生2：相向而行。
师：运动物体相向而行，经过一定的时间就会相遇。（师伸出双手边说边向中间靠拢）舒老师开车每分钟行800米，小罗骑车每分钟行300米，同时从家出发去学校（相向而行），经过4分钟相遇。我们在线段图上把这个过程画出来。（师用线段图表示）你们能不能求出我和小罗两家之间的距离呢？（在线段图上标出问题）
4.学生尝试解答后师生分析解答过程
师：谁来说说你的解答过程？（根据学生的回答板书）
生3：800×4+300×4=4400（米）。
生4：（800+300）×4=4400（米）。
师：这两种解答都对吗？谁来解释一下？
生5：第一种方法是先算出舒老师家到学校的距离和小罗家到学校的距离，加起来就是他们两家之间的距离。
师：为什么加起来就是两家之间的距离？
生5：相遇时都走了一部分路程，舍起来的总路程就是两家之间的距离。
师（指线段图）：他说得对吗？
生（齐）：对！
生6：第二种方法是先算舒老师和小罗1分钟走多少米，再算他们4分钟一共走多少米。
师：我们看看线段图，第一分钟舒老师走了800米，那小罗呢？
生（齐）：小罗走了300米。
师：从哪个条件知道的？
生：同时出发。
师：1分钟，我们共走了1100米（手势表示相向而行），那2分钟呢？3分钟呢？
生（齐）：2个1100米，3个1100米。
师：为什么要乘4？
生：都走了4分钟。
师：舒老师和小罗两家原本相距这么远（指图），经过4分钟相遇，走了4个1100米，两人的距离变成了0，也就是共同走完了全程。
5.整理新的数量关系
师：第二种方法先算的是两人1分钟走的速度之和，我们就说成速度和（板书），因为两人同时出发，所用时间相同，相遇时共同走完了全程，所以可用这两种方法解决。
教师将板书补充为：总路程=A路程+B路程或速度和×相遇时间。
练习部分，出示题目：王超和李明同时从学校出发，背向而行。王超每分钟走60米，李明每分钟走55米，经过3分钟，两人相距多少米？
引导学生画图帮助分析，得到：3分钟的距离就是两人走的总路程，所以可用相遇问题的解答方法解题。
设计意图：通过谈话导入，拉近与学生的距离，形成良好的课堂气氛；结合生活实际，学生充分理解“同时出发”“相向而行”“相遇”，利用线段图理解总路程与分路程之间的关系，培养动脑、动手及观察思考能力；重视数量关系的理解，学会特殊应用题的解题技巧。
片段二：注重数量关系相同的结构化教学
片段教学目标：和学生一起经历解题的四个步骤，以弄清问题和回顾反思为重心，用抓关键词和动作演示突破对问题的理解，通过对相同数量关系的结构化进行回顾、反思。
1.回顾应用题解答的一般步骤
师：今天我们将要解决一道应用题，想一想，一般需要做些什么工作？
生：读题、理解题目的意思，看看题中有哪些条件，问的是什么，条件和问题之间有什么联系。
2.弄清问题
师：换句话说，读懂题目是我们解决问题的第一步。那好，下面我们一起读题（出示题目，学生齐读）：小明和小萍同时从家走向学校，相向而行，小明每分钟走65米，小萍每分钟走70米，两人4分钟后在学校大门口相遇。小明和小萍的家相距多少米？
师：读懂了吗？读懂了的说说你认为哪些词语其他同学理解时可能会出错，没读懂的同学说说哪些词语不好理解。（按照学生回答板书：同时、相向、相遇、相距）
师：相遇是什么意思？
生：就是两个人走着走着就碰面了。
师（走向学生，和A握手）：我现在和A（相遇了）。那相距怎么理解？
生：两个人的家之间距离多少米就是相距多少米的意思。
师：那相向是什么意思？
生1：我觉得“相”就是相同，“向”就是方向。所以相向就是朝同一个方向走。
生2：我觉得应该是向相反方向走。
生3：我认为是面对面地走，因为只有从他们俩的家面对面地走才能在学校大门口相遇。
师：众说纷纭，你们同意谁的观点？
生：生3的肯定是对的，他说的符合题目的意思。
师：题目的意思都明白了吗？还有人要补充说明吗？
生4：我理解“同时”的意思，同时走就是你开始走，我也开始走，没有人提前，也没有人推迟。
师：谁来和我一起表演同时走？（一生走上台，与教师分别站在讲台的左右两侧）好了，我们两个准备走了，你们说怎么走？
生：预备，走！（教师和学生在指令声中同时走到讲台） 师：还走不走？
生5：不走了，已经相遇了。
生6：再走又离得远些了。
师：对题目意思还有不明白的吗？
生：没有了。
3.模拟情景，深度理解题意
师：下面，我们请出今天的主人公小明和小萍（带领学生用手表示），一起表演这个情境，边表演边想想题目的条件与问题之间有什么联系。
学生用手表演，互相介绍能求出的部分。
4.拟定计划
师：题中已知的是什么？
生：小明和小萍的速度和行走时间。
师：我只看到4分钟这个时间，那么，4分钟是谁的行走时间？
生：既是小明走的时间，又是小萍走的时间。
师：那么，要求的是什么？
生：他们两家之间的距离。
师：我们以前学习过，根据速度和时间可以求出路程（板书：速度×时间=路程），小明的速度知道，时间也知道，那么求出小明走的路程就很简单了，但这和两家之间的距离有关系吗？
生：有关系。分别算出小明走的路程和小萍走的路程，再把它们加起来就是两家之间的距离了。
师：同意这个观点吗？现有条件能解决问题了吗？
生：我们可以解决了。
5.实施计划
（1）独立列式、整理思路
师：那好，请大家独立思考，列出算式。写完后举手示意一下。
师巡视，让用不同方法解决的两个学生进行板演。
①65×4+70×4 ②（65+70）×4
=260+280 =135×4
=540（米） =540（米）
师：我注意到，两种不同的算法得到了一样的结果。面对相同的结果，我们一定会有两种结论：都对或者都错。都对？还是都错呢？
生：都是对的。
师：我们现场调查一下：是用算法一的请举手，算法二的呢？（学生纷纷举手示意）
（2）对比算法，明晰思路
师：下面同桌之间交流一下：如果你们俩算法相同，请统一你们对这样一种算法的理解；如果算法不同，分别介绍各自的算法，看看它们的区别是什么。（同桌交流）
教师请用算法二的学生介绍算法一的算理，用算法一的介绍算法二的算理。结合学生的解说，用课件演示两种算理，如下图所示。
师：说一说，这两种算法有什么相同之处和不同之处？（概括出等量关系式，生朗读）
6.反思回顾
（1）整理今天学习的问题
师：题目解决了吗？今天的问题如果需要加个名字，叫什么名字比较好？
生：关于相遇的问题。（板书：相遇问题）
师：谁帮了忙？
生：数量关系。
师：是的，数量关系存在于每一个应用题中，有些很明显，有些很隐蔽，不管如何，都需要我们用心对待。
（2）尝试拓展份总关系的应用
师：像这样的数量关系只能解决相遇问题吗？谁来举例说说？
生6：还可以解决两架飞机相遇的问题。
师：是的，运动的物体可以是人，还可以是交通工具。不过，你说的还是关于相遇的问题。
生7：我还可以用它解决重量（质量）问题。
师：你能说具体点吗？
生7：有4筐苹果和4筐橘子。苹果每筐65千克，橘子每筐70千克，求苹果和橘子的总重量。
师：这个重量（质量）问题说得多好啊！你们注意到没有，除了将情境换了，连数据都没换，是不是？
生：是的。
师：那么，生7说的重量（质量）问题和我们说的相遇问题就是（一样的）。
（3）出示习题，展示份总关系的应用
①两个工程队分别从山的东西两头开挖隧道，甲队每月挖120米，乙队每月挖80米，8个月将隧道挖通。这条山体隧道共有多少米？
②张师傅和李师傅共同打一篇文章。张师傅每分钟打字210个，李师傅每分钟打字190个，两人各打了10分钟才将这篇文章打完。这篇文章共有多少个字？
③博才学校打算为四（9）班学生添置新校服。四（9）班有男生28人，女生17人。每套校服需要130元。学校购买这些校服需要花费多少钱？
学生找出数量关系，口头列式。
（4）比较几道题的数量关系，将数量关系结构化
师：一起看看这几个题的数量关系，相同吗？
小明的速度×相遇时间+小萍的速度×相遇时间=两家距离
速度和×相遇时间=两家距离
张师傅的工效×时间+李师傅的工效×时间=打字总数
工效和×时间=打字总数
男生人数×单价+女生人数×单价=校服总价
总人数×单价=校服总价
生：相同，都是乘法数量关系。（师板书数量关系式：每份数×份数=总数）
师：是的，无论是速度、时间、路程，还是工效、时间、工作总量或者单价、数量、总价，都是已知每份数和份数，求总数的题。今天，我们学习的相遇问题不过是在这些关系的基础上换了一个新的情境罢了。这就和丁老师虽然上午、下午穿不同衣服，但我相信绝不会有人说上午上课的是丁老师，下午却不是丁老师了，对吧？
7.整理解决问题的过程
师：今天，我们解决了一道应用题，回顾一下，我们经历了哪些解答过程？
师生回顾解答应用题的一般过程：读懂题目→分析已知和未知的关系→拟定解题计划→独立解答，实施计划→回顾思考。
师：哪些环节你认为自己做得不错？哪些环节略有欠缺、需要加强？有什么办法能提高解决问题的能力？ 学生结合前测谈认识。
设计意图
著名数学家乔治・波利亚把解题作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段与途径，并将“怎样解题表”定位为“解题中典型有用的智力活动”，“怎样解题表”深受广大数学爱好者的青睐。这样一件法宝也常被我们应用到小学应用题教学中，但并没有系统地按照四个步骤，带领学生学习解题方法，缺乏对问题的回顾与反思。那么，小学阶段是否可以尝试用这样的手段培养学生的解题能力，帮助学生建构解题方法，提升解题能力？相遇问题作为应用题中的一种经典类型，能否运用波利亚的解题表按照一般解题思路来处理？
在小学阶段，数量关系的运用主要包括简单数量关系的运用、复合数量关系的运用，以及特殊数量关系的运用。特殊数量关系的运用是把一般的份总关系（每份数×份数=总量）运用到特殊情境之中，如运用到购物的问题情境中，一般的份总关系就特殊化为单价×份数=总价；运用到工程效率的问题情境中，一般的份总关系就特殊化为工作效率×工作时间=工作总量；运用到行程问题的情境中，一般的份总关系就特殊化为速度×时间=路程。数量关系及其各部分的名称对于小学生来说，是外在的和抽象的，不仅需要大量丰富的具体情境作为认识的感性支撑，也应当将这些数量关系结构化，帮助他们形成完整的知识体系。
三、讨论
1.测课堂的思考
应用题是数学表述与客观存在的中介，是去掉无关因素而只保留数量关系的现实。尽管新教材的呈现形式变了，应用题的名称也变了，但应用题的结构没有变，根据已知条件解决问题的本质属性没有变，依据数量关系确定解题思路和方法没有变。所以，数量关系是应用题结构中不可缺少的。我们这次研讨的目标就定在数量关系的分析与理解。
参加研讨的两位执教老师都运用了体验式教学方式让学生理解数量关系。学生在熟悉的生活情境中体验，在课堂模拟的场景中理解，进而获得数量关系的认识，找到解决问题的办法。这是两节课的共性。抛弃简单的模仿，让学生自己寻找解决问题的一般方法，这是一种正确的教学方向。《数学课程标准（实验稿）》强调数学教学要“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，这个过程就是数学化。而让学生具有数学化的能力便是解决问题教学所要达成的目标之一。
我们研究了两种教学思路的教学价值。第一种思路，将相遇问题看做一个典型的特殊问题进行研究，用生活体验式的方式对行程问题中这一特殊状态的数量关系进行深度分析和体验式学习，为学生解决其他较复杂的行程问题建立一种探究方式，为建构完整的行程问题解决的知识结构打好基础。第二种思路，将相遇问题看做一般问题进行解决。抛给学生一个数学问题，引导学生通过波利亚的四步解题法解决这个问题，重在问题解决的一般方法与能力的培养。孩子们面对数学情境不同而运算结构相同的数学素材，从中抽象出这一类数学问题的基本数量关系（份总关系），初步体验数学基本数量关系的结构化。
这两种教学应该体现了解决问题教学的常用思路。两种思路对学生所产生的影响不同，对学生的知识能力训练的目标也不尽相同。思路一，门槛较低，任务目标指向清晰，铺垫学习梯度，充分利用生活情境突破教学重难点，照顾中下层学生的学习要求，让知识点能较好地落实。思路二，重视学生对于解决一般性问题的能力培养，渗透波利亚的解决问题四步法，强调知识的结构化，重视各种数量关系的类比，进而构建学生自己的数学认识体系。一节课内需要研究多种问题情境，并进行对比研究，容量大，对学生要求较高。如此看来，两种思路其实是对学生的数学素养的偏重有不同，对不同能力层次的学生提出了不同的学习要求。
我们在研究相遇问题的教学时，特意设置比较纯粹的两种思路进行对比研究，目的在于利用这种极端方式呈现出比较单纯的教学状态，以更大化地控制变量进行对比分析。
注重基本知识点和基本技能的落实，注重自主解决问题一般能力的训练，这两个教学思路是我们所有数学教师在解决问题教学时经常采用的。在研究中，为了突显不同教学思路对学生所产生的不同训练效果，探究各自独有的训练价值，我们采用两种纯粹的思路。在现实教学中，我们的老师会针对不同题材，不同年龄阶段，不同的教学时机，选择相应的训练重点，往往是二者互相结合而又各有侧重。
2.提出新问题
（1）我们在研讨如何教的价值的同时，不能忽略对学生学习方式的研究。在我们的教学呈现中，学生自己的问题在哪里？教师教的价值在哪里？学生都是0起点的知识储备吗？如何照顾到不同起点的孩子的训练要求？
（2）两种教学方式到底分别对学生的学习产生了何种影响，如何观察到这种影响？
（3）在实际教学中，应该如何综合两种教学思路，以各显所长？
（执笔：丁丽、汪松浩、刘新芳、舒红伟、杨伊）
《相遇问题》教学反思文章来
源莲 山课件 w ww.5 Y
K J.cOm
《相遇问题》
《相遇问题》是五年级解决问题的重点和难点，是在学习了速度、时间和路程的数量关系的基础上进行教学的，由一个物体运动的特点和数量关系为基础来探索两个物体运动的特点和数量关系。本节课我重视引导学生“书本数学”向“生活数学”转变，不断探究解决问题的方法。
一、努力之处
1.数量关系，奠定基础。
现在的数学教材淡化了对数量关系的教学，但是我想相遇问题是涉及路程、速度和时间这三个量的教学，所以在复习环节我加上了对于数量关系的回忆和复习，由于学完时间较长，有半数比较生疏，所以我将以下三个数量关系板书下来，分别是：速度×时间＝路程；路程÷速度=时间；路程÷时间=速度，这是学习相遇问题的基础，我加以强调。
2.合作表演，亲身体验。
我通过谈话加以过渡：一般情况下，我们算的路程问题都是向同一个方向走的，那么，想一想，如果两个人同时从一段路的两端出发，相对而行，会怎样？这时揭题：今天我们就利用方程来研究相遇问题。然后出示例题：小林和小云家相距4.5千米，小林的骑车速度是每分钟250m，小云的骑车速度是每分钟200m。两人何时相遇？这时我请两名学生商量后上台表演相遇，通过他们分别扮演小林和小云，学生深刻理解“同时出发”、“相向而行”、“相遇”这几个相遇问题的要素，学生在进行合作演示相遇过程的时候，他们不断商量如何表演，引发的思考正是解决问题的关键，这比教师强加给他们要生动有趣很多，这个环节帮助他们理解相遇问题中的重点，合作表演比较成功。
3.分析数量，构建模型。
然后我加以引导在黑板上画出线段图分析数量关系，使题意更加形象直观，数量关系更清楚。之后我鼓励学生寻找题目的等量关系，学生发现了在相遇问题中两个重要的等量关系，我将他们的发现板书在黑板上：小林骑的路程＋小云骑的路程＝总路程；（小林骑的速度＋小云骑的速度）×相遇时间=路程，然后我并没有将两种方法孤立开来，而是引导学生对这两种方法进行比较，通过比较沟通了联系，实际上是运用了乘法分配律，在学习中感受理解相遇的规律和特征。
二、改进之处
1.画线段图是个难点，不少学生不会画线段图时，我有些急于求成，边讲边直接给学生出示了线段图，这时应多些引导，多些耐心，引导他们一点一点地将线段图画出来最好。
2.解方程的能力有待进一步增强。学生基本上通过数量关系列出方程，但是计算是出现问题不少，应该在计算上再加以细心指导，不断练习，提高正确率。
生活是具体的，数学是抽象的。在教学中要把抽象的数学内容寓于现实的情境中，引导学生构建解决问题的模型。
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