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备受关注的2013年安徽中考阅卷工作已经落下帷幕，我有幸被抽调参加阜阳市的中考数学阅卷工作，我批阅的恰巧是压轴题第23题. 批阅之前我认真地将此试题及参考答案反复推敲，发现试题中第（3）问的第二个问题“若点E不在四边形ABCD内部时，情况又如何？”的参考答案有待商榷. 现结合试题及参考答案将我的一点思考写出来与大家共同探讨.
一、试题来源
23.（14分）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”. 其中，
（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；
（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB = EC，请问：当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情况），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论. （不必说明理由）
二、试题参考答案
（3）过点E分别作EF⊥AB，EG⊥AD，EH⊥CD，垂足分别为F，G，H（如图7）.
∵ AE平分∠BAD，
∴ EF = EG.
又∵ ED平分∠ADC，
∴ EG = EH ，EF = EH，
又∵ EB = EC，
∴ Rt△BFE≌Rt△CHE，
∴ ∠3 = ∠4，
又∵ EB = EC，∠1 = ∠2，
∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4，即 ∠ABC = ∠DCB.
又∵ ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，
∴ ABCD为“准等腰梯形”.（12）
当点E不在四边形ABCD内部时，有两种情况：
当点E在四边形ABCD的边BC上时，四边形ABCD为“准等腰梯形”；
当点E在四边形ABCD的外部时，四边形ABCD为“准等腰梯形”.（14分）
三、试题初探
1. 纵观试题，简要评析
本题作为压轴题，以学生熟悉的等腰三角形和等腰梯形为背景自定义“准等腰梯形”的概念，阅读量适中，起步低，学生容易上手，本题前两问解法多样，图形简洁，能综合考查学生的直观和理性思维. 第（3）问难度加大，两个小问题层层递进，变式自然，有一定的区分度. 另外，本题与2008年安徽中考数学卷的第22题有类似之处，是第22题的拓展. 时隔4年，我们不得不感叹命题人的用心，试题稳中求变，既能考查学生应用数学基本知识解决新问题的能力，又能激发学生学习数学的兴趣.
2.深入试题，提出质疑
可惜的是本题第（3）问中第二个小问题：“若点E不在四边形ABCD内部时，情况又如何？”的参考答案有待商榷. 第二个问题需分为以下两种情况进行讨论：
① 当点E在四边形ABCD的边BC上时.
此时四边形ABCD是“准等腰梯形”. 理由如下：如图8，此种情况只需类比第（3）问的第一个小问题的证明过程就可以轻易解答，结论仍然成立. 这里不再赘述.
② 当点E 在四边形ABCD的外部时.
对于此种情况，出现了两种不同的理解.
第一种理解：是在图8的基础上将BC边向上平移，平移过程中保持其他线段的相对位置不变，这样点E就在四边形ABCD外部了，显然由平行线性质定理可得∠ABC = ∠BCD，且AD不平行于BC，所以当点E在四边形外部时，四边形ABCD仍然是“准等腰梯形”，即试题所给答案无任何异议. 此种理解方式并没有错误，只是忽略了这样的四边形可能只是满足题设的一种情况.
第二种理解：当点E在四边形ABCD外部时，且点E同时是∠BAD的角平分线和∠CDA的平分线以及线段BC的中垂线这三条线的交点时，四边形ABCD的边AD∥BC，此时四边形ABCD将不满足“准等腰梯形”的概念. 所以这样的四边形不是“准等腰梯形”. 这种理解无疑是忽略了第三问“题干”中“由不平行于BC的直线截△PBC所得的四边形ABCD……”，所以这个反例实际上在题目要求的范围内是不存在的. 那么当点E在四边形ABCD外部时，情况到底怎样？是一定存在“准等腰梯形”，还是不一定存在“准等腰梯形”呢？
3. 构造图形，解决问题
事实上，当点E在四边形ABCD外部时，四边形ABCD确实不一定符合“准等腰梯形”的概念. 下面笔者将利用构造图形的方法给予证明.
（ⅰ）当点E在四边形ABCD外部时，四边形ABCD可能是“准等腰梯形”.
如图9，点P是圆E外一点，过点P做圆E的两条切线PB，PC，点B，C为切点，作圆E的另一条切线AD交PB，PC于A，D两点，点F是切点，且AD不平行于BC. 连接BC，由切线长定理知，PB = PC，所以∠ABC = ∠BCD，点E显然应在四边形ABCD的外部. 连接BE，CE，FE，由切线的性质定理，得BE⊥AB，CE⊥DC，EF⊥AD，且BE = CE = EF. 所以AE，DE分别是∠BAD和∠CDA的角平分线，点E在线段BC的中垂线上. 此时四边形ABCD和点E满足第三问的题设条件：点E在四边形ABCD外部，AE，DE分别是∠BAD和∠CDA的角平分线，BE = CE.这里容易证明∠ABC = ∠BCD. 图9既为当点E在四边形ABCD外部时，四边形ABCD仍是“准等腰梯形”.
（ⅱ）当点E在四边形ABCD外部时，四边形ABCD可能不是“准等腰梯形”. 如图10，在圆E外找一合适的点P，过点P做圆E的两条切线PF，PG，点F，G为切点，且∠P = 45°，作圆E的另一条切线AD（控制∠PAD ≠ 90°）交PF，PG于点A，D，点H是切点. 作BC⊥DG，使得点C在线段DG上，点C是垂足，交PF的延长线于点B，再过点C作CM⊥PA，点M是垂足，找到线段BC的中点N，连接MN，EN，由垂径定理和等腰直角三角形的性质，可知点M，N，E三点共线，此时点E显然在四边形ABCD的外部，且BE = EC. 连接GE，HE，FE，则GE⊥DC，HE⊥AD，EF⊥AB，且GE = HE = EF. 所以AE，DE分别是∠BAD和∠CDA的角平分线. 此时四边形ABCD和点E满足第三问中题设条件“在由不平行于BC的直线截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD = ∠ADC的平分线交于点E， 且EB = EC”，但∠ABC = 45°，∠BCD = 90°，所以∠ABC ≠ ∠BCD，不符合“准等腰梯形”的概念. 即此图形说明当点E在四边形ABCD外部时，四边形ABCD不是“准等腰梯形”.
综上，当点E在四边形ABCD外部时，四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”.
俗话说：问题越辩越明. 以上是我对本题第（3）问第二个小问题的思考，抛砖引玉，欢迎各位同仁批评指正！
四、试题对今后数学教学的启示
1. 教学过程中加强数学思想方法的渗透
培养学生的数学思维能力，只讲解题方法，只重视题型训练是不够的，要想以不变应万变，提高学生的数学思维能力，必须注意数学思想方法的教学，例如解决本题的构造法.
2. 落实过程性教学
一方面课堂教学中不能只满足于学生对所学知识结论的理解和记忆，一定要让学生经历知识的产生过程，另一方面是重视平时课堂教学要稳扎稳打，不搞突击训练.
3. 重视学生创新能力的培养
平时教学中培养学生具体问题具体对待的思想，不生搬硬套题型，鼓励学生对同一问题提出不同的看法，培养学生的发散思维和创新能力.
4. 重视手脑结合
随着新课改的深入，对学生动手操作能力要求越来越高. 这里需要指出的是不能为了动手而动手，为了操作而操作，仅仅只做表面功夫. 要指导学生在动手的同时动脑，让动手操作与动脑思考有机地结合起来.