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摘 要：函数的零点是新课标新增内容之一，它是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介，函数的零点充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想。诸如方程根的问题、存在性问题以及交点问题等都可以转化为零点问题来讨论，因而函数的零点成了近年来高考新的热点而备受青睐，且常常以选择题、填空题、解答题等不同的形式出现，是学生得分的拦路虎。
关键词：函数的零点；函数的零点题型；函数的零点解法；函数的零点教学
一、函数的零点问题在高考中的地位
函数的零点是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学（必修1）第三章的内容，因其内容沟通函数、方程、图像等知识点，大部分高考试卷都有相关内容的试题，针对这个命题资源，命题人将函数的零点题目展现得多姿多彩，并且出现了和导数融合的综合性问题，可见函数的零点在现在高考中的重量。随着新课程的深入推进，高考命题也由原来的知识立意逐步向能力立意转化，逐步在知识网络的交汇处命制试题，函数的零点也由原来的“知识性”逐步向“工具化”转变。函数的零点这一道高考美丽的风景线将是今后高考命题的热点和“增长点”。
二、近三年来高考函数的零点题型归类
认真分析研究近三年各地高考试卷，可以发现函数的零点这部分高考题大致有以下几种题型。
题型1：求函数零点的个数
例1.（2012年高考湖北文）函数f（x）=xcos2x在区间[0，2π]上的零点个数为 （ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
解析：由f（x）=xcos2x=0，得x=0或cos2x=0；其中，由cos2x=0，得2x=kπ+■（k∈Z），故x=■+■（k∈Z），又因为x∈[0，2π]，所以x=■，■，■，■.所以零点的个数为1+4=5个，故选D。
例2.（2012年高考北京文）函数f（x）=x■-（■）x的零点个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
解析1：函数f（x）=x■-（■）x的零点，即令f（x）=0，根据此题可得x■=（■）x，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B.
解析2：因为函数f（x）=x■-（■）x，可知f（x）在定义域内单调递增，且f（0）=-10，则函数y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为 （ ）
A.2 B.4
C.5 D.8
解析：由当x∈（0，π），且x≠■时，（x-■）f′（x）>0，知x∈[0，■）时，f（x），f（x）为增函数。又x∈[0，π]时，00，所以函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（-1，0），故选B。
解析2：由f（x）=2x+3x=0可化为2x=-3x，画出函数y=2x和y=-3x的图象，可观察出选项C、D不正确，且f（0）=20+0>0，由此可排除A，故选B。
解题方法归纳：这种题型的解法通常有两种，一是利用函数的
零点存在性定理求解，通过所给的区间端点进行检验；二是通过函数的图形（即数形结合）观察得到，既把函数分成两个简单且容易作图的函数，观察两个函数的交点的大致区间进行求解判断。
题型3：已知函数的零点情况，求参数问题
例5.（2011山东高考）已知函数f（x）=logax+x-b（a>0，且a≠1），当2 解析1：方程logax+x-b（a>0，且a≠1）=0的根为x0，即函数y=logax（2 解析2：由于20，因此，函数必在区间（2，3）内存在零点，故n=2。
例6.（2011辽宁高考文科）已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则 的取值范围是___________。 解析：由于f′（x）=（ex-2x+a）′=ex-2，故函数在（-∞，ln2）上递减，在区间（ln2，+∞）上递增，且f（x）极小值=f（ln2）=2-2ln2+a，结合函数的图像知若使得函数f（x）=ex-2x+a的图像与x轴有交点，只需f（x）极小值=2-2ln2+a≤0，解得a≤-2+2ln2，故a的取值范围是（-∞，-2+2ln2]。
例7.（2009山东卷文）若函数f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是 。
解析：设函数y=ax（a0且a≠1）有两个零点，就是函数y=ax（a>0且a≠1）与函数y=x+a有两个交点，由图像可知当01时，因为函数y=ax（a>1）的图像过点（0，1），而直线y=x+a所过的点（0，a）一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点。所以实数的取值范围是{a|a>1}。
解题方法归纳：这种题型的解法通常是通过运用函数与方程的思想进行等价转化，转化为函数的图像进行分析，结合交点的情况确定参数范围。
三、如何把握函数的零点教学
从以上近三年高考函数的零点出现的题型总结分析，结合函数的零点这部分知识的特点，在函数的零点的教学中，应当在函数的零点的概念、定理及解题思路上下工夫，在关键问题上讲深讲透，使学生真正掌握，才能灵活应用知识。通过这一部分的教学，我认为在函数的零点教学中应当让学生清楚掌握两个方面：一是理解函数的零点的概念及定理，二是掌握函数的零点题型的解题思路及常见方法。
1.函数的零点的概念及定理
函数的零点的概念：对于函数f（x），我们把使f（x）=0的实数x 叫做函数y=f（x）的零点。所以y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数根，也就是y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标。函数的零点不是图象上的点，而是图像与x轴的交点的横坐标，是一个实数。教学中让学生清楚函数y=f（x）有零点？圳函数y=f（x）的图像与x轴有交点？圳方程f（x）=0有实数根。零点存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）・f（b）
【高考函数的十大题型】例谈高考“函数的零点”题型,把握“函数的零点”教学范文
摘 要：函数的零点是新课标新增内容之一，它是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介，函数的零点充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想。诸如方程根的问题、存在性问题以及交点问题等都可以转化为零点问题来讨论，因而函数的零点成了近年来高考新的热点而备受青睐，且常常以选择题、填空题、解答题等不同的形式出现，是学生得分的拦路虎。
关键词：函数的零点；函数的零点题型；函数的零点解法；函数的零点教学
一、函数的零点问题在高考中的地位
函数的零点是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学（必修1）第三章的内容，因其内容沟通函数、方程、图像等知识点，大部分高考试卷都有相关内容的试题，针对这个命题资源，命题人将函数的零点题目展现得多姿多彩，并且出现了和导数融合的综合性问题，可见函数的零点在现在高考中的重量。随着新课程的深入推进，高考命题也由原来的知识立意逐步向能力立意转化，逐步在知识网络的交汇处命制试题，函数的零点也由原来的“知识性”逐步向“工具化”转变。函数的零点这一道高考美丽的风景线将是今后高考命题的热点和“增长点”。
二、近三年来高考函数的零点题型归类
认真分析研究近三年各地高考试卷，可以发现函数的零点这部分高考题大致有以下几种题型。
题型1：求函数零点的个数
例1.（2012年高考湖北文）函数f（x）=xcos2x在区间[0，2π]上的零点个数为 （ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
解析：由f（x）=xcos2x=0，得x=0或cos2x=0；其中，由cos2x=0，得2x=kπ+■（k∈Z），故x=■+■（k∈Z），又因为x∈[0，2π]，所以x=■，■，■，■.所以零点的个数为1+4=5个，故选D。
例2.（2012年高考北京文）函数f（x）=x■-（■）x的零点个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
解析1：函数f（x）=x■-（■）x的零点，即令f（x）=0，根据此题可得x■=（■）x，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B.
解析2：因为函数f（x）=x■-（■）x，可知f（x）在定义域内单调递增，且f（0）=-10，则函数y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为 （ ）
A.2 B.4
C.5 D.8
解析：由当x∈（0，π），且x≠■时，（x-■）f′（x）>0，知x∈[0，■）时，f（x），f（x）为增函数。又x∈[0，π]时，00，所以函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（-1，0），故选B。
解析2：由f（x）=2x+3x=0可化为2x=-3x，画出函数y=2x和y=-3x的图象，可观察出选项C、D不正确，且f（0）=20+0>0，由此可排除A，故选B。
解题方法归纳：这种题型的解法通常有两种，一是利用函数的
零点存在性定理求解，通过所给的区间端点进行检验；二是通过函数的图形（即数形结合）观察得到，既把函数分成两个简单且容易作图的函数，观察两个函数的交点的大致区间进行求解判断。
题型3：已知函数的零点情况，求参数问题
例5.（2011山东高考）已知函数f（x）=logax+x-b（a>0，且a≠1），当2 解析1：方程logax+x-b（a>0，且a≠1）=0的根为x0，即函数y=logax（2 解析2：由于20，因此，函数必在区间（2，3）内存在零点，故n=2。
例6.（2011辽宁高考文科）已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则 的取值范围是___________。 解析：由于f′（x）=（ex-2x+a）′=ex-2，故函数在（-∞，ln2）上递减，在区间（ln2，+∞）上递增，且f（x）极小值=f（ln2）=2-2ln2+a，结合函数的图像知若使得函数f（x）=ex-2x+a的图像与x轴有交点，只需f（x）极小值=2-2ln2+a≤0，解得a≤-2+2ln2，故a的取值范围是（-∞，-2+2ln2]。
例7.（2009山东卷文）若函数f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是 。
解析：设函数y=ax（a0且a≠1）有两个零点，就是函数y=ax（a>0且a≠1）与函数y=x+a有两个交点，由图像可知当01时，因为函数y=ax（a>1）的图像过点（0，1），而直线y=x+a所过的点（0，a）一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点。所以实数的取值范围是{a|a>1}。
解题方法归纳：这种题型的解法通常是通过运用函数与方程的思想进行等价转化，转化为函数的图像进行分析，结合交点的情况确定参数范围。
三、如何把握函数的零点教学
从以上近三年高考函数的零点出现的题型总结分析，结合函数的零点这部分知识的特点，在函数的零点的教学中，应当在函数的零点的概念、定理及解题思路上下工夫，在关键问题上讲深讲透，使学生真正掌握，才能灵活应用知识。通过这一部分的教学，我认为在函数的零点教学中应当让学生清楚掌握两个方面：一是理解函数的零点的概念及定理，二是掌握函数的零点题型的解题思路及常见方法。
1.函数的零点的概念及定理
函数的零点的概念：对于函数f（x），我们把使f（x）=0的实数x 叫做函数y=f（x）的零点。所以y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数根，也就是y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标。函数的零点不是图象上的点，而是图像与x轴的交点的横坐标，是一个实数。教学中让学生清楚函数y=f（x）有零点？圳函数y=f（x）的图像与x轴有交点？圳方程f（x）=0有实数根。零点存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）・f（b）
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