【www.zgpaoc.com--高考作文】
在2009、2010年全国Ⅰ、Ⅱ卷,以及其他省份的高考试卷中都出现了与圆锥曲线焦半径有关的问题,我运用推导的焦半径公式解题,效果非常好,希望能给各位读者的教学与学习带来方便。
定义:我们把圆锥曲线上的点A与焦点F的连线段|AF|叫做该圆锥曲线的焦半径。
公式1:r=
说明:其中r、e分别是对应圆锥曲线焦半径,p是焦点到相应准线的距离,在椭圆和双曲线中p=,在抛物线中p就是焦点到准线的距离,θ是圆锥曲线焦半径与焦点所在的对称轴的夹角。θ∈(0,]。过圆锥曲线的焦点F作一条焦点弦|AB|,得到两条焦半径|AF|、|BF|,不妨设|AF|>|BF|,则|AF|=,|BF|=。
推导:如图1:设|AB|是过圆锥曲线的焦点F作一条弦|AB|,直线MN是焦点F所对应的准线,它交x轴于点P,记p=|FP|,即为焦准距;r=|AF|,即为焦半径,过A分别作x轴和准线的垂线,垂足分别为M、H,根据圆锥曲线的第二定义,==e,又|AM|=|FP|+|FH|=p+rcosθ,所以有:=e,解得:r=。同理可得|BF|=。
根据上面的推导可得:|AB|=|FA|+|FB|=+=,所以有:
公式2:|AB|=,我们称它为焦点弦长公式,特别当圆锥曲线是抛物线时,|AB|=,利用公式1很容易推导。
下面用2009和2010 年的几道高考题说明公式1、公式2的妙用。
例1.(2010全国I)设F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF交C于点D,且=2,则C的离心率为?摇?摇?摇?摇。
解法1:设椭圆的方程为:+=1,D(x,y),又B(0,b)、F(c,0),则=(c,-b),=(x-c,y),由=2得:x=,y=,代入椭圆的方程+=1,解得e=.
解法2:如图,|FD|=,|FB|=,由题意:cosθ==e,||=2||,所以有:=,即=,解得e=.
点评:两种方法计算量看起来差不了多少,但事实上解法2优于解法1,下面再看一道题。
例2.(2009全国II)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,且斜率为的直线交C于A、B两点,若=4,则C的离心率是()。
(A) (B) (C)(D)
解法1:由题意AB的方程是:y=(x-c),代入-=1中消去y得:(b-3a)x+6acx-3ac-ab=0。
设A(x,y),B(x,y),
则x+x= (1)xx=(2)
又=4,由定比分点坐标公式得:c=,
即x+4x=5c(3)
联立(1)、(2)、(3)得:e=,选(A)。
解法2:设双曲线C:-=1的右准线为l,过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,BD⊥AM于D,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为60°,
∴∠BAD=60°,|AD|=|AB|.
由双曲线的第二定义有 |AM|-|BN|=|AD|=(||-||)=|AB|=(||+||).
又∵=4,
∴・3||=||,
∴e=,故选(A)。
解法3:由已知有:||=4||,
而|AF|=,|FB|=,即=4,解得:e=,故选(A)。
点评:本题用三种方法来解答,解法1最常规解法,但计算量太大,作为一道选择题,花费十分钟未必能算出来,效率太低。解法2利用了双曲线的第二定义和平面几何知识,虽简单但有一定难度。显而易见,再没有比解法3更简单的方法了。
读者不妨利用例2的方法练习解答2010年全国II理科卷第12题和2010年辽宁理科卷的第7题。
练1.(2010全国Ⅱ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率k(k>0)的直线与C相交于A、B亮点,若=3,则k=()。
(A)1(B) (C)(D)2
答案:(B)。
练2.(2010辽宁)设抛物线y=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足。如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=()。
(A)4 (B)8 (C)8 (D) 16
答案:(B)。
例3.(2010重庆)已知以F为焦点的抛物线y=4x上的两点A、B满足=3,则弦AB的中点到准线的距离为?摇?摇?摇?摇。
解:如图,过A、B分别作已知抛物线准线的垂线,垂足分别为D、C,根据抛物线的定义可知:||=||,||=||,弦AB的中点到准线的距离即直角梯形ABCD的中位线长,记为d,则d=(|AD|+|BC|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,由公式1:|AF| =,|FB|=,由已知:||=3||,解得:cosθ=,再由公式2得d===.
通过以上几道2009、2010年的高考原题可以看出,公式1、2是参加高考的同学不得不掌握的一个考点,希望列举的那几个例题的演示能帮助同学们答疑解惑,在以后遇到类似题型达到事半功倍的效果。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
圆锥曲线统一的焦半径公式 | | 手机打开
手机客户端打开本文
【摘要】:正我们知道,圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)可以统一定义为:平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹.其中e是离心率,F是焦点,l是准线.由这个定义我们可以推导出
【作者单位】:【关键词】: 圆锥曲线 焦半径 抛物线 焦点弦 倾斜角 公式解 椭圆和双曲线 离心率 准线 直线方程
【分类号】:G634.6
【正文快照】:
我们知道,圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)可以统一定义为:平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹.其中e是离心率,F是焦点,l是准线.可得,,。!=一单一.②l一e‘eos‘8-这就是焦点弦长公式.对于抛物线,由于。=l,则有②砰图由这个定
(? 欢迎:、、)
支持CAJ、PDF文件格式,仅支持PDF格式
|
|
|
|