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2016年高考数学全国卷（乙）第21题如下：
已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.
（1）求a的取值范围；
（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x21时，f（x）>g（x）；
（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明x1+x2>2.
2011年辽宁卷理科第21题：
已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a>0，证明：当0f（1a-x）；
（3）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）0时，由f′（x）=0得，x=1.f（x）在（-∞，1）上递减；在（1，+∞）上递增.
而f（1）=-e0，所以在（1，2）有一个零点.另外，
f（1-a）=（1-a-2）e1-a+a（1-a-1）2=-（1+a）e1-a+a3.令g（a）=f（1-a），则
g′（a）=a（e1-a+3a）>0，所以g（a）在（0，+∞）上递增，又g（0）=-e，g（2）=8-3e>0.从而存在a，使得g（a）=f（1-a）>0，又f（x）在（-∞，1）上递减，所以在（1-a，1）上存在唯一零点.
当a=0时，f（x）=（x-2）ex，f′（x）=（x-1）ex.由f′（x）=0得，x=1.f（x）在（-∞，1）上递减；在（1，+∞）上递增.另外，f（1）=-e1，f（x）在（-∞，1）上递增；（1，ln（-2a））上递减；（ln（-2a），+∞）上递增.又f（1）=-e0.
（2）不妨设x1f（x2）.当10时，F′（x）0，那么ex+2a>ex>0，
所以当x>1时，f′（x）>0，f（x）单调递增；
当x0，f（1）=-ee（x-2）+a（x-1）2=a（x-1）2+e（x-1）-e.
则f（x）=0的两根x1=-e-e2+4ae2a+1，x2=-e+e2+4ae2a+1，x10，故当xx2时，a（x-1）2+e（x-1）-e>0.
因此，当x0.
又f（1）=-e0，f（x）单调递增；
当ln（-2a）eln（-2a）+2a=0，即f′（x）=（x-1）（ex+2a）1时，x-1>0，ex+2a>eln（-2a）+2a=0，即f′（x）>0，f（x）单调递增.
即：
f[ln（-2a）]=-2a[ln（-2a）-2]+a[ln（-2a）-1]2=a{[ln（-2a）-2]2+1}1时，f（x）单调递增，至多一个零点，
此时f（x）在R上至多一个零点，不合题意.
④若a=-e2，那么ln（-2a）=1.
当x0，
f（x）单调递增.
当x>1=ln（-2a）时，x-1>0，ex+2a>eln（-2a）+2a=0，即f′（x）>0，
f（x）单调递增.
又f（x）在x=1处有意义，故f（x）在R上单调递增，此时至多一个零点，不合题意.
⑤若a1.
当x0，
f（x）单调递增.
当10，ex+2aln（-2a）时，x-1>ln（-2a）-1>0，ex+2a>eln（-2a）+2a=0，即f′（x）>0，
f（x）单调递增，
故当x≤ln（-2a）时，f（x）在x=1处取到最大值f（1）=-e，那么f（x）≤-eln（-2a）时，f（x）单调递增，至多一个零点.
此时f（x）在R上至多一个零点，不合题意.
综上所述，当且仅当a>0时符合题意，即a的取值范围为（0，+∞）.
（2）由已知得：f（x1）=f（x2）=0，不难发现x1≠1，x2≠1，
故可整理得：-a=（x1-2）ex1（x1-1）2=（x2-2）ex2（x2-1）2.
设g（x）=（x-2）ex（x-1）2，则g（x1）=g（x2），
那么g′（x）=（x-2）2+1（x-1）3ex，当x1时，g′（x）>0，g（x）单调递增.
设x>0，构造代数式：
g（1+x）-g（1-x）=x-1x2e1+x--x-1x2e1-x=1+xx2e1-x（x-1x+1e2x+1）.
设h（x）=x-1x+1e2x+1，x>0，
则h′（x）=2x2（x+1）2e2x>0，故h（x）单调递增，有h（x）>h（0）=0. 因此，对于任意的x>0，g（1+x）>g（1-x）.
由g（x1）=g（x2）可知x1、x2不可能在g（x）的同一个单调区间上，不妨设x10，则有g[1+（1-x1）]>g[1-（1-x1）]g（2-x1）>g（x1）=g（x2），
而2-x1>1，x2>1，g（x）在（1，+∞）上单调递增，因此：g（2-x1）>g（x2）2-x1>x2，
整理得：x1+x21时，limx→1+x-2（x-1）2ex=-∞，limx→+∞x-2（x-1）2ex=limx→+∞（x-1）ex2（x-1）=limx→+∞ex2=+∞，
所以F（x）∈（-∞，+∞）.
此时原函数f（x）有两个零点等价于直线y=-a与y=F（x）在（1，+∞）上有两个交点.从而，
-a0.
（2）不妨设x10，所以h（x）f（x0-x）或f（x0+x）f（x0+（x0-x1））=f（2x0-x1）.
（4）最后再结合f（x）的单调性得出x22x0-x1.
2016年高考数学全国卷（乙）第21题赏析
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张鹄
2016年高考数学全国卷（乙）第21题如下：
已知函数f（ x）＝（ x －2） ex ＋ a（ x －1）2有两个零点。